梯度下降法(Gradient Descent)：优化世界中的魔法箭头
By Long Luo
待继续完善
引言：
在机器学习和优化算法的领域中，梯度下降法被广泛应用于解决各种问题，从训练神经网络到参数优化。这种强大的优化算法通过不断迭代更新参数，以最小化目标函数或最大化收益函数。本文将介绍梯度下降法的数学原理，探讨其在实际应用中的广泛应用以及其优点和不足之处。
数学原理：
梯度下降法的核心思想是通过计算目标函数的梯度，并沿着梯度的反方向迭代地更新参数，以逐步逼近最优解。具体而言，梯度下降法包括以下步骤：
\[ h_{\theta} (x) = \theta_0 + \theta_1 x + \theta_2 x^2 + \dots + \theta_n x^n \]
\[ J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i = 1}^{m} (h_{\theta} (x_i) - y_i)^2 \]
\[ \theta_j = \theta_j - \frac{\alpha}{m} \sum_{i = 1}^{m} (h_{\theta} (x_i) - y_i) \cdot x_j \]
随机初始化参数向量。 计算目标函数在当前参数向量处的梯度。 沿着梯度的反方向更新参数向量。
重复以上步骤，直到满足停止条件（如达到最大迭代次数或参数变化不显著）。
发生在计算机内存里的进化：解密遗传算法(Genetic Algorithm)
By Long Luo
这篇文章部分内容还在优化，Demo 还在继续开发，大概还需要 7 - 8 小时写作时间。
无限猴子定理（英语：Infinite monkey theorem）
让一只猴子在打字机上随机地按键，当按键时间达到无穷时，几乎必然能够打出任何给定的文字，比如莎士比亚的全套著作。
在这里，几乎必然是一个有特定含义的数学术语，“猴子”也不是一只真正意义上的猴子，它被用来比喻成一个可以产生无限随机字母序列的抽象设备。这个理论说明把一个很大但有限的数看成无限的推论是错误的。猴子精确地通过键盘敲打出一部完整的作品比如说莎士比亚的哈姆雷特，在宇宙的生命周期中发生的概率也是极其低的，但并不是零。
遗传算法(Genetic Algorithm) 1 是一种元启发式搜索和优化技术，借鉴了生物进化中的自然选择和遗传机制。它已经在各个领域展示出了强大的应用潜力。本文将介绍遗传算法的发展历史、原理、示例，以及其广泛应用和不足之处。
发展历史
遗传算法的发展可以追溯到上世纪60年代的约翰·荷兰德（John Holland）和他的同事们的工作。他们首先提出了基因型与表现型之间的映射关系，并通过模拟生物进化过程来解决复杂的优化问题。
原理
遗传算法的核心原理是模拟自然进化的过程。它通过定义适应度函数来评估候选解的质量，并利用遗传操作（选择、交叉和变异）对候选解进行迭代改进。具体而言，算法从一个初始种群开始，通过选择适应度较高的个体作为父代，进行交叉和变异操作产生新的后代个体，然后通过评估适应度来选择出下一代个体。这个过程不断迭代，直到找到满足特定条件的优秀解。
It’s never too late
举个例子
目前参考网络资源写了一个简单的Demo，地址：http://longluo.me/projects/genetic
这个例子还有待完善！
CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法
By Long Luo
任何一款科学计算器上都可以计算三角函数，三角函数应用于生活工作中的方方面面，但计算机是如何计算三角函数值的呢？
三角函数本质上是直角三角形的3条边的比例关系，计算并没有很直观，那么计算机是如何计算三角函数值的呢？
在微积分中我们学习过 泰勒公式 ，我们知道可以使用泰勒展开式来对某个值求得其近似值，例如：
\[ \sin \angle 18^{\circ} = \frac{\sqrt {5} - 1}{4} \approx 0.3090169943 \]
利用泰勒公式，取前 \(4\) 项：
\[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \]
代入可得：
\[ \sin \angle 18^{\circ} = \sin \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10} - \frac{1}{6} (\frac{\pi}{10})^3 + \frac{1}{120} (\frac{\pi}{10})^5 - \frac{1}{5040} (\frac{\pi}{10})^7 \approx 0.30903399538 \]
可见取前 \(4\) 项时精度已经在 \(10^{-5}\) 之下，对于很多场合精度已经足够高了。
在没有了解 CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer) Algorithm 1 算法之前，我一直以为计算器是利用泰勒公式去求解，最近才了解到原来在计算机中，CORDIC 算法远比泰勒公式高效。
下面我们就来了解下泰勒公式的不足之处和 CORDIC 算法是怎么做的。
泰勒公式的缺点
上一节我们使用泰勒公式去计算三角函数值时，需要做很多次乘法运算，而计算器中乘法运算是很昂贵的，其缺点如下所示：
- 展开过小则会导致展开精度不够，展开过大则会导致计算量过大；
- 幂运算需要使用乘法器，存在很多重复计算；
- 需要很多变量来存储中间值。
在之前的文章 矩阵乘法的 Strassen 算法 ，就是通过减少乘法，多做加法，从而大大降低了运算量，那么我们可以用相同的思想来优化运算吗？
当然可以，让我们请出今天的主角：CORDIC 算法。