之前写过一篇介绍 CORDIC 算法 ¹ 的文章，里面提到 CORDIC 算法的不足之处，CORDIC 算法的输入角度范围需要在 \([−99.88^{\circ} , 99.88^{\circ}]\) ，那么我们不禁要问，如果输入角度 \(\large {\theta }\) 很大的话，怎么处理呢？

这个问题同样存在于泰勒展开式(Taylor series) ² 中，比如 \(\large {\sin (x) }\) 和 \(\large {\cos (x) }\) 的泰勒展开式：

\[ \sin(x) = x - \frac {1}{3!}x^3 + \frac {1}{5!}x^5 - \frac {1}{7!} x^7 + \frac {1}{9!} x^9 + o(x^9) \quad \forall x \subset \mathbb{R} \]

\[ \cos(x) = 1 - \frac {1}{2!}x^2 + \frac {1}{4!}x^4 - \frac {1}{6!} x^6 + \frac {1}{8!} x^8 + o(x^8) \quad \forall x \subset \mathbb{R} \]

虽然在整个实数集 \(\large { \mathbb{R}}\) 都成立，但是在实际应用中因为展开项数限制和浮点数的精度限制， \(\large {x}\) 的范围只有在接近 \(\large {0}\) 的时候才有比较高的精度。

但是实际应用中，如果输入 \(\large {x}\) 很大的话，比如 \(\large {2^{32}, 10^{10}, 10^{22} \dots }\) 情况下怎么得到足够精确的值呢？

中学里我们知道三角函数是周期函数，对于比较大的值，我们可以使用下面的公式将值归约到一个比较小的范围内。

\[ x' = x - 2k \pi \quad k \subset \mathbb{Z} \]

这就是我们今天要讲的 参数归约(Argument Reduction) 算法。

从小学计算题开始

参数归约 听起来就很唬人，什么是参数啊，什么归约啊，都是些高大上的名词，听起来云里雾里的！

为了不让大家产生厌倦和畏难心理，我们先从一道小学数学计算题开始：

不借助计算器，计算 \(\large {66600 \times 666000}\) 的值！

对于这道题，大家可能会列出下列算术：

\[ 66600 \times 666000 = 666 \times 666 \times 100000 = 44355600000 \]

但其实呢，我们也可以使用下面的方法：

\[ \begin{aligned} 66600 \times 666000 &= 111^2 \times 4 \times 9 \times 10^5 \\&= 444 \times 999 \times 10^5 \\&= 444 \times (1000 - 1) \times 10^5 \\&= 4443556 \times 10^5 \end{aligned} \]

如果我说上面这 \(\large {2}\) 种方法都用到了参数归约的思想，你可能会感到震惊，什么？这种小学计算题也用到了参数归约算法吗？

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发表于 2023-08-21 更新于 2024-03-14 分类于 Physics Waline：阅读次数：本文字数： 244 阅读时长 ≈ 1 分钟

By Long Luo

挖坑

\[ m \frac {d^2x}{dt^2} = -kx \]

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -k \cdot x = k \cdot A \sin \left( \omega t - \Delta \varphi \right) \]

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + m r \frac{dx}{dt} + kx = F(t) \]